中考压轴题中的相似功夫（年浙江衢州第24题）
相似三角形的对应边成比例，没什么难的，比例式换乘积式，也不麻烦，如果仅有一对相似三角形，那一道题能难到哪儿去？在计算矩形面积和三角形面积时，我们也曾见识过线段乘积，当它们和相似比例线段结合起来，就十分考验对相似这一章节基本功的造诣了。
题目
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E，作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于F，G.
(1)判断△AFG的形状并说明理由；
(2)求证：BF=2OG；
(3)记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S1:S2=1:3时，求AD:AB的值；
(4)若DF交射线AB于点F，中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的1/10时，请直接写出tan∠BAE的值.
解析：
(1)角平分线、垂线，这两个要素极易联想到等腰三角形，无论是用内角和，还是用全等，都不难得到AF=AG，因此这是一个等腰三角形；
(2)线段间的2倍关系，再加上点O又是对角线的中点，因此可以往中位线方向去思考，两种构造中位线的方法均可，一是过点O作AB的平行线，二是过点B作AC的平行线，都能构造成功，如下图：
左图中，承接第1小题的结论，我们可证明△OGK也是等腰三角形，于是OG=OK，再利用中位线定理得到BF=2OK=2OG；
右图中，承接第1小题的结论，同样可证明△BFL是等腰三角形，于是BL=BF=2OG；
(3)在前面的性质研究基础上，加入了面积探究，而且△DGO和△DBF这两个三角形的一条边恰恰为BF和OG，那便以它们为底边，于是这两个三角形的高分别为AD和DM，如下图：
根据它们面积之比为1：3，可得到BF·AD=3OG·DM，而BF=2OG，因此可得2AD=3DM。
现在我们得到了AD和DM之间的比例关系为3：2，而题目要求的是AD和AB之间的比例关系，并且AB=CD，观察AD、DM、CD，不难发现，它们正好是另一对相似三角形的对应边，于是我们可证明△ADC∽△DMC，所以AD：DM=AC：DC=3：2，因此在Rt△ACD中，不妨设AC=3k，DC=2k，由勾股定理计算出AD=√5k，最后得到AD：CD=√5：2，即AD：AB=√5：2；
(4)请注意“DF交射线AB于点F”，隐藏含义是点F可能在边AB上，也可能在其延长线上，所以需要分情况讨论，如下图：
①当点F在边AB上时，要想求出tan∠BAE，首先观察Rt△ABE，题目并未给出任何边长条件，所以我们需要寻找BE：AB的值和哪些量有关联，其次在求比值的常规方法中，找相似通常是第一选择，而在图形中，是否存在与△ABE相似的三角形呢？
答案是存在，即Rt△DAF。
△ABE∽△DAF很容易证明，由此可得BE：AB=AF：AD；
再来看△BEF和矩形ABCD的面积，分别表示为1/2BE·BF和AB·AD，根据10倍面积的关系，可得5BE·BF=AB·AD；
上述两个比例式之间一定存在某种联系，推导如下：
联系找到了，原来我们设的两个参数a和b之间是2倍关系，那就好办了，继续在前面基础上来求tan∠BAE：
②当点F在AB延长线上时，依然有△ABE∽△DAF，所以前面推导出来的等式仍然不变，即DA=5AF·BF，然而线段的表示结果却发生了改变，推导如下：
解题反思
此题的难点在于对于相似三角形得到的比例式，以及面积关系得到的比例式之间的变换，这种代数恒等变换历来对九年级学生是一种考验，不仅考验相似三角形的理解，更考验代数运算基本功。
在整个初中阶段，运算复杂度其实并不高，但数学运算，有其基本的要求，个人认为，某些地市的中考数学题，对数学运算量的把握值得商榷，因为在现实生活中，根本没有那么多整数结果或简单分数结果，无理数，较复杂的分数、小数比比皆是，义务教育阶段的育人目标是培养合格的社会人才，他们未来走到任何工作岗位，都不会只面对整数或简单分数的结果。然而命题过程中，这个度的把握十分不易，究竟什么样的运算不属于过重负担呢？浙江这几套卷中的压轴题或许可以参考。