1．（12分）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）
（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）
2．（12分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．
3．（12分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
4．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan∠B＝3／4，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
5．（12分）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．
（1）如图1，当EF∥BC时，求证：BE／AE+CF／AF＝1；
（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
6．（12分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝ADCD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
7．（12分）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；
（3）如图3，连接DG交AC于点M，求AE／DM的值．
8．（14分）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．
（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；
（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．
9．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN＝1／3，求MN／EM的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为1／2？请说明理由．
10．（12分）在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．
（1）如图，当AB＝BC＝8时，
①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；
②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．
11．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝√17，CD＝5，求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝√2CM+2CE．
12．（12分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NGCG的值．
1.（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
（2）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
解：（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝°，∠BAC+∠CAG＝°，
∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝AE＝AD＝AC，
∴＝＝1．
（2）如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
不妨设∠ADC＝30°，则AD＝AC，AE＝AB，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝°，∠BAC+∠CAG＝°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∴＝＝．
（3）如图3中，如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝°，∠BAC+∠CAG＝°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n∴＝＝．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，30度的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
2.数学理解：
（1）由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求AF＝DF＝CE，即可得AB＝（AF+BE）；
问题解决：
（2）延长AC，使FM＝BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM＝DB，通过△ADM≌△ADB，可得∠DAC＝∠DAB＝∠CAB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ADB的度数；
联系拓广：
（3）由正方形的性质可得DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD，可得AM＝MD，DN＝NB，即可求MN，AM，BN的数量关系．
解：数学理解：
（1）AB＝（AF+BE）
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC
∵四边形DECF是正方形∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°
∴∠A＝∠ADF＝45°∴AF＝DF＝CE
∴AF+BE＝BC＝AC∴AB＝（AF+BE）
问题解决：
（2）如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM，
∵四边形DECF是正方形
∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°
∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED
∴△DFM≌△DEB（SAS）∴DM＝DB
∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，
∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD
∴△ADM≌△ADB（SSS）
∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB
同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC
∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°
∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°
∴∠ADB＝°﹣（∠DAB+∠ABD）＝°
联系拓广：
（3）∵四边形DECF是正方形∴DE∥AC，DF∥BC
∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°
∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD
∴AM＝MD，DN＝NB
在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，∴MN2＝AM2+NB2，
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
3.（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB＝CF，即可得结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB＝CG，即可得结论；
解：（1）AD＝AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线∴∠DAE＝∠BAE
∵AB∥CD∴∠F＝∠BAE∴∠DAF＝∠F∴AD＝DF，
∵点E是BC的中点∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）∴AB＝CF
∴AD＝CD+CF＝CD+AB
（2）AB＝AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点，∴CE＝BE，
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，
∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，
∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出＝，可得DB＝＝＝，由DE∥AB，推出＝，求出AE即可．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM，可得＝＝tan∠ADF＝tan∠B＝，推出AN＝AM＝×12＝9，推出CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE．
（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BMtan∠B＝4k×＝3k，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴＝（3k）2+（4k）2，
∴k＝4或﹣4（舍弃），
∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝24k＝32，
∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，
∴＝，∴DB＝＝＝，
∵DE∥AB，∴＝，
∴AE＝＝＝．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵AB＝20，tan∠B＝∴BM＝CM＝16，
∴BC＝32，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴＝＝tan∠ADF＝tan∠B＝，∴AN＝AM＝×12＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，
∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．
本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
5.（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；
（2）过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，得出△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，得出比例式解答即可；
（3）分两种情况：当F点与C点重合时，E为AB中点，BE＝AE；点F在AC的延长线上时，BE＞AE，得出，则，同理：当点E在AB的延长线上时，，即可得出结论．
（1）证明：∵G是△ABC重心，∴，
又∵EF∥BC，∴，，
则；
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图2，过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，
则△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，
，，
∴，
又∵BM+CM＝BM+CD+DM，
而D是BC的中点，即BD＝CD，
∴BM+CM＝BM+BD+DM＝DM+DM＝2DM，∴，
又∵，∴，故结论成立；
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当F点与C点重合时，E为AB中点，BE＝AE，
点F在AC的延长线上时，BE＞AE，
∴，则，
同理：当点E在AB的延长线上时，，
∴结论不成立．
此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．
6.（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝ADCD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．
证明：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD
∴∴BD2＝ADCD
（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝ADCD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2
∵BM∥CD∴△MNB∽△CND
∴，且MC＝2∴MN＝
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
7.（1）由正方形性质得出∠ABC＝90°，AB＝BC，证出∠EAB＝∠FCB，由ASA证得△ABE≌△CBF，即可得出结论；
（2）由正方形性质与角平分线的定义得出∠CAG＝∠FAG＝22.5°，由ASA证得△AGC≌△AGF得出CG＝GF，由直角三角形的性质得出GB＝GC＝GF，求出∠DBG＝∠GBF，即可得出结论；
（3）连接BG，由正方形的性质得出DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，推出AC＝DC，证出∠DCG＝∠ABG，由SAS证得△DCG≌△ABG得出∠CDG＝∠GAB＝22.5°，推出∠CDG＝∠CAG，证得△DCM∽△ACE，即可得出结果．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+AEB＝90°，
∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，
∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，
∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，
在△AGC和△AGF中，，
∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，
∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，
∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝°﹣∠ABD﹣∠GBF＝°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；
（3）解：连接BG，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，∴AC＝DC，
∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝.5°，∠ABG＝°﹣∠GBF＝°﹣67.5°＝.5°，
∴∠DCG＝∠ABG，
在△DCG和△ABG中，，
∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，
∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，
∴△DCM∽△ACE，∴＝＝．
本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．
8.（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；
（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF＝，证明△AEF∽△ADG可得AG＝，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段，求出t的值，代入EG的表达式可求EH的值；
（3）由（2）知EG＝，过点F作FK⊥AC于点K，根据即可（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，
∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）设OE＝t，连接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，
∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，
∴，∴t，
又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，
∴△AEF∽△ADG，∴，
∴，
又∵AE＝OA+OE＝2+t，∴，
∴EG＝AE﹣AG＝，
当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°，
∴△ADF∽△BFH，∴，
∵AF∥CD，∴，
∴，∴，
解得：t1＝，t2＝（舍去），
∴EG＝EH＝；
（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG＝，
∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，
∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，
∴S＝．
本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9.（1）由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；
（2）先证明△EFM≌△GFM得出EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在证明△EFH≌△GFN得出HF＝NF，由三角函数得出GF＝EF＝3HF＝3NF，得出GH＝2HF，作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，得出＝，＝＝，PN＝HF，即可得出结果；
（3）假设EM＝，先判断出点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM＝GM＝，得出GM＝，再判断出BM＜，得出CM＞，进而得出CM＞GM，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，
∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，
在△EFM和△GFM中，∴△EFM≌△GFM（SAS），
∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，
在△EFH和△GFN中，，∴△EFH≌△GFN（ASA），
∴HF＝NF，
∵tan∠MEN＝＝，
∴GF＝EF＝3HF＝3NF，
∴GH＝2HF，
作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，
∴＝，＝＝，∴PN＝HF，
∴＝＝＝＝；
（3）EM的长不可能为，
理由：假设EM的长为，
∵点E是AB边上一点，且∠EDG＝∠ADC＝90°，∴点G在BC的延长线上，
同（2）的方法得，EM＝GM＝，∴GM＝，
在Rt△BEM中，EM是斜边，∴BM＜，
∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，
∴CM＞，∴CM＞GM，
∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，
∴假设错误，即：EM的长不可能为．
此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明EM不可能为是解本题的难度．
10.（1）①如图1中，证明△AEH≌△CGH（SAS）即可解决问题．
②分两种情形分别求解：如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN．
（2）分三种情形分别求解：①如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．②如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．③如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
解：（1）①如图1中，
∵四边形EFGH是正方形，AB＝BC，
∴BE＝BG，AE＝CG，∠BHE＝∠BGH＝90°，
∴∠AEH＝∠CGH＝90°，∵EH＝HG，
∴△AEH≌△CGH（SAS），∴AH＝CH．
②如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．
如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+16t﹣32．
综上所述，S＝．
（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
∵EH∥BM，∴＝，
∴＝，∴t＝．
如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，
∵EH∥BK，∴＝，
∴＝，∴t＝．
如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．
在Rt△ABC中，AC＝＝10，∵EF∥AB，∴＝，
∴＝，∴EF＝（16﹣t），
∵EH∥CN，∴＝，
∴＝，解得t＝．
综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
11.（1）作CG⊥AD于G，设PG＝x，则DG＝4﹣x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x＝1，即PG＝1，得出GC＝4，求出AD＝6，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF＝AF，NF＝EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE＝∠ABN，推出∠ABF＝∠FAC＝45°，得出FC＝AF＝BF，再证明△ANE≌△ECM得出CM＝NE，由NF＝NE＝MC，得出AF＝MC+EC，即可得出结论．
（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG＝x，则DG＝4﹣x，
在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，
在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，解得：x＝1，即PG＝1，
∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，∴AD＝6，
∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，
∵∠ANB＝90°+∠EAF，∠CEA＝90°+∠MEC，
∴∠ANB＝∠CEA，
在△ANB和△CEA中，，∴△ANB≌△CEA（SAS），
∴∠CAE＝∠ABN，
∵∠NBF＝∠EAF，∴∠ABF＝∠FAC＝45°
∴FC＝AF＝BF，∴∠ANE＝∠BCD＝°，AD＝BC＝2AF，
在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF＝NE＝MC，∴AF＝MC+EC，
∴AD＝MC+2EC．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12.（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
（2）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；
（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，证△MGC∽△NGB得＝，从而得出答案．
解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，
则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；
（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，
∴＝＝＝，∴AF＝2.4，CE＝2.4，
∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，
∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，∴AN＝4BN；
（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为6，∴BD＝6，
∴DM+MG+BG＝12a＝6，∴a＝，
∴BG＝，MG＝，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGC∽△NGB，∴＝，
∴CGNG＝BGMG＝．
本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．