一、试题呈现
如图1,平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,AOB的两条外角平分线相交于点P,点P在反比例函数
的图像上,PA的延长线交x轴于点C,PB的延长线交y轴于点D,连结CD
．
(1)求∠P的度数及点P的坐标;
(2)求OCD的面积;
(3)AOB的面积是否存在最大值?若存在,求出最大面积,若不存在,说明理由．
二、试题分析
从表面上看,本题是一道反比例函数问题,但经过仔细阅读、分析,可以发现今年的压轴题与往年压轴题还是有一些相同之处的．
1.动态变换
中学阶段要求的动态变换(平移、旋转、翻折)仍然占据主要地位,点的运动仍贯穿其中，因而解题仍然可以沿袭以前的方法．点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上运动,间接地体现了一种动态．以前探讨过,关于动态问题的解决方式是“以静制动”,所以解决这一问题的关键是“寻找不变”,达到“以不变应万变”解题之策．
2.基础渗透
题中提到AOB的两条外角平分线相交于点P,那么根据角平分线的定义及其性质,自然想到由点P分别向外角的两边作垂线(如图2)．则有PM=PH=PN,从而可以判断出四边形PMON为正方形,于是得出∠CPD=45°,点P的坐标为(3,3)．
3.能力的运用
怎样求OCD的面积?你会发现，随着点A与点B的运动,点C与点D也在运动,OC、OD的长在发生改变,然而你要解决的是求OCD的面积,那只有一种解释,它是一个定值,就是OD与CD的乘积不变.由线段的乘积问题,伴随知识的迁移,会使你想到相似三角形．
最后一问是最值问题,你的脑海中会呈现出所有有关最值的信息,可从中选取你所需要的方法,然后再解答．
三、解法探究
第(1)问较简单,由分析可得∠CPD=45°，点P(3,3)．
对于第(2)问,可以从三个角度来给予解答.
1.几何变换法
如图3，连结OP，
则∠POC=∠POD=°.
∵∠OPC+∠OCP=∠OPC+∠OPD=45°,
∴∠OCP=∠OPD,
∴OPC∽ODP,则
即OC·OD=OP2.
∵OP2=ON2+PN2=32+32=18,
2.勾股定理与相似法
如图3,可知MA+NB=AB.不妨设MA=x,NB=y,则AB=x+y,AO=3-x,BO=3-y.根据勾股定理，得(x+y)2=(3-x)2+(3-y)2,即9-3(x+y)=xy．
同理，可得
∴SCOD
3.解析法
设A(0,a),B(b,0),则直线PA的函数关系式为
直线PB的函数关系式为
令
中的y=0,可求得
即C点坐标为
同理，可得D点坐标为
在RtAOB中,AB2=OA2+OB2，
∴(6-a-b)2=a2+b2，变形，得
∴SCOD
对于第(3)小问,笔者利用二次函数、基本不等式等方法求解AOB面积的最值问题．
1.用二次函数求最值
如图4,设MA=x,AB=a,则NB=a-x，OB=3-a+x．
当
时,SAOB的最大值是
在RtAOB中，有OA2+OB2=AB2,
化简，得a2+12a-36=0,解得
或
(舍去)．∴SAOB的最大值是
2.运用基本不等式求最值
不难发现,AOB的面积S=9-2SPAB，故当APB面积最小时,AOB面积最大．
设MA=x,NB=y,则
当且仅当x=y时取等号,即x=y时，SPAB最小.
∴在RtAOB中，有(x+x)2=2(3-x)2,解得
(舍去)．∴当
时,
SOAB的最大值是
3.运用圆的有关性质求最值
如图5，作APB的外接圆⊙E(r)．对于APB，AB边上的高PQ=3,当AB越短,APB面积越小，则SAOB=9-2SPAB越大．
∵∠APB=45°,
∴∠AEB=90°,AEB为等腰直角三角形.
越小,AB就越小．∵PE+EF≥PQ,
即
∴r的最小值为
的最小值为
∴SAOB的最大值是9-2SPAB
4.运用方程的思想求最值
设MA=x,AB=a,则BN=a-x,AO=3-x,BO=3-a+x.在RtAOB中,OA2+OB2=AB2,
∴(3-x)2+(3-a-x)2=a2,化简，得x2-ax+9-3a=0.
∵方程有实数根,∴Δ≥0,即Δ=a2+12a-36=(a+6)2-72≥0,解得
或
(舍去)．∴a的最小值为
即AB的最小值为
∴SAOB的最大值是9-2SPAB