学习了图形的旋转之后,小明知道,将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α,能得到一个新的点P’.经过进一步研究,小明发现,当上述点P在某函数图像上运动时,点P’也随之运动,并且点P’的运动轨迹能形成一个新的图形.
根据下列各题中所给的定点A,以角度α的大小来解决相关问题.
如图1,设A(1,1),α=90,点P是一次函数y=kx+b图象上的动点,已知该一次函数的图象经过点P1(-1,1).
(1)点P1旋转后,得到的点P1’的坐标为_______.
(2)若P’的运动轨迹经过点P2’(2,1),求原一次函数的表达式.
如图2,设A(0,0),α=45,点P是反比例函数y=-1/x(x0)的图像上的动点,过点P’作二,四象限角平分线的垂线,垂足为M,求△OMP’的面积.
如图3,设A(1,-根号3),α=60,点P是二次函数y=x^2/2+2根号3x+7的图像上的动点,已知点B(2,0),C(3,0),求△BCP’的最小值？
分析：(1)由旋转的原理有AP1’=AP1=
-1-1
=2,(旋转的对应边相等)
设P1’(x,y),则x=1,y-1=2,（因为P1’A垂直于x轴,所以两点横坐标相等，两点距离等于纵坐标的
∴P1’(1,3).
(2)解：P2’绕点A逆时针旋转90得(1,2),（将P2’反向旋转相同的角度，以找到原图像上的对应点，下面还会用到这个方法）
∴原一次函数的表达式为：y=x/2+3/2.（也可以用待定系数法求解释式，这里运用了高中求解析式的方法，很快捷，就是用两点纵坐标差除以两点横坐标差求比例系数k，再用y-y0=k(x-x0)求解析式）
如图2,设P(p,-1/p),过点P作PN⊥x轴于点N,连接OP,
△OMP’是由△ONP绕点A顺时针旋转45得到的,(因为三角形三个顶点都是对应的顺时针旋转
∴S△OMP’=S△ONP=
PN·AN
/2=1/2.
如图3,将B,C分别绕点A逆时针旋转60,得到B’(0,0),C’(1/2,根号3/2),（如果旋转抛物线，可能没那么容易，不如把BC反方向旋转同样的角度，得到的三角形面积不变。）
B’C’=BC=1,直线B’C’的解析式为y=根号3x,（三角形底是定长，只要求高的最小值就可以了。）
设P(p,p^2/2+2根号3p+7),
则P到B’C’的距离为：
h=
根号3p-(p^2/2+2根号3p+7)
/2=(p^2/2+2根号3p+14)/4=(p+根号3)^2/4+11/4,(这里借用了高中点到直线距离的公式，否则将花比较大量的时间来求三角形的高。所以建议高中点到直线距离的公式一定要先掌握，中考中可能可以帮你省很多时间)
∴S△BCP’=S△B’C’P=h·B’C’/2=11/8最小.