线段或者线段之和最小问题，一直以来都是中考数学压轴题的热门考点！不为别的，就是不想给考生拿满分！因为这一类型的题目，太难了！
众所周知（不好好学习的孩子不一定知道），线段的最小值原理只有一个：点到直线的距离最短。而线段和的原理，在初中阶段也是唯一一个：两点之间线段最短！
但是，出题老师就是想着法子让你在短短的2个小时里（或1个半小时）拿不了满分！将这两个基本原理各种变形。比如将最简单的将军饮马问题，由两条线段之和最小变形为三条线段之和最小；或者变形为一条线段加上另一条线段的几倍或几分之几的和最小！
究竟难不难？一道例题和一道练习题告诉你！
例题精讲
如图1，抛物线y=ax+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1：C2=6:5，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+2E′B÷3的最小值．
（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．
（2）由△PNM∽△ANE，推出PN：AN=6:5，列出方程即可解决问题．
（3）在y轴上取一点M使得OM=0.75，构造相似三角形，可以证明AM就是E′A+2/3E′B的最小值．本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM就是E′A+2/3E′B的最小值，属于中考压轴题．
参考答案
二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质
练习巩固
如图1，二次函数y=0.5x﹣2x+1的图像与一次函数y=kx+b（k≠0）的图像交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图像的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48．
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+√2BH÷2的值最小，求点H的坐标和GH+√2BH÷2的最小值；
（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=0.5x﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K′是直角三角形时，求t的值．
（1）根据S△AMO：S四边形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比为1：7，从而求出BN，继而求出点B的坐标，用待定系数法求出直线解析式．
（2）先判断出PE×PF最大时，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大时G（5，3.5），再简单的计算即可；
（3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得A′C′=8，A′K=5m﹣18m+18，C′K=5m﹣22m+26，最后分三种情况计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的结论公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．
答案
待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质
其实，最小值问题的变形，只要将特殊的线段进行转变即可。比如几分之几的线段，将它转化为一条线段或者两条线段之和；而带有根号的（一般是根号2），肯定与等腰直角三角形有关，利用勾股定理或者三角函数进行转换即可！
关于特殊的最小值问题，如有其它见解，欢迎留言讨论！