函数型综合题中矩形存在性问题，需要通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。我们应该力求通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。
1.如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象交于A（a，3）、B（3，b）两点，直线AB交y轴于点C、交x轴于点D．
（1）请直接写出a＝_____，b＝_____，反比例函数的解析式为_____．
（2）在x轴上是否存在一点E，使得∠EBD＝∠OAC，若存在请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是平面内的动点，是以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
（1）利用待定系数法即可解决问题，答案为﹣1，﹣1，﹣3；
（2）分两种情形：①当点E与O重合时，∠EBD＝∠OAC，此时E（0，0）．②作BE′∥OA，则∠E′BD＝∠OAC，分别求解即可解决问题，满足条件的点E坐标为（0，0）或（8/3，0）．
（3）分四种情形画出图形，分别求解即可解决问题；存在．如图中：
2.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C．点B的坐标为（3，0）点C的坐标为（0，3），点C与点D关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD，PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在y轴右侧抛物线上运动，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣8/3x+c交x轴于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点P为抛物线上一点，直线PC与x轴交于点Q，使得PQ＝5/4CQ，求P点坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A，C，M，N为顶点的矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理、矩形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标；（3）分AC为边或AC为对角线两种情况考虑．
4.如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点A（4，0）和点B（1，﹣3），其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求顶点C的坐标；
（3）连接AD、BD，设△ABD的面积为S，点D的横坐标为m，则DE用含有m的代式表示为______；S关于m的函数关系式为：______（不要求写出m的取值范围）；当m的值为_____时，S有最大值______；
（4）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使中点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（3）中求得E坐标是解题的关键，在（4）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
③当∠MAB＝90°时，则M只能在y轴上，作BP⊥x轴于P，NQ⊥y轴于Q，如图3，∵∠NMQ+∠AMQ＝90°，∠QMA+MAP∠＝90°，∴∠NMQ＝∠MAP，
而∠MAP+∠BAP＝90°，∠NMQ+∠BAP＝90°，∴∠NMQ＝∠BAP，
而MN＝AB，∠MQN＝∠BPA＝90°，∴△NQM≌△APB（AAS），
∴NQ＝AP＝3，MQ＝PB＝3，
∵直线AB的解析式为y＝x﹣4，∴直线AM的解析式为y＝﹣x+4，
∴M（0，4），∴OQ＝4﹣3＝1，∴N（﹣3，1）．
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（3，1）或（﹣3，1）或（1，3）．
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以二次函数为背景的综合题呈现，学生在复杂的问题中牢牢把握核心问题，求点N坐标，把矩形问题转化为直角三角形存在性问题，画图，并求解。在作图时通过一组邻边平行且相等，再通过直角三角形计算三角比，或利用一线三直角解决。有意识地引导学生分类，截取局部图形，抓住关键点的定点坐标求限制点的坐标，抛开干扰，问题清晰。这样可以让学生清楚问题的来龙去脉，以及相关图形的组合。
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第一步：分类讨论。分定边为对角线，还是为矩形的边。
第二步：作图。可以利用对角线互分，相等；边平移，作垂线。
第三步：利用直角三角形的性质求点坐标（转化为直角三角形存在性问题，通过一线三直角，斜边上的中线等于斜边的一半解决）体会一线三直角方法更好，优化方法。
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函数与几何综合题能有效地考查学生对学习数学知识的掌握和灵活运用的程度．中考数学试题中，有关函数与几何构成的综合题占据相当的比例，尤其是最后的把关题中，这类题型几乎已经成为必然．与传统的考题相比，这些题型设计优美、新颖独特，活不超纲，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求．
从学生的角度来看，这类题目由于综合性较大，需要用到的知识点和方法较全面，因此难度也较大．
像抛物线背景下的几何综合问题主要特点是包含的知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活,偏重于考查考生分析问题、探究问题和综合应用数学知识解决问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、圆、三角函数等几何知识，较熟练地应用转化与化归、方程与不等式、分类讨论、数形结合等常见的数学思想．解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上，挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想解决问题．