典型例题分析1：
为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）
答案选A。
考点分析：
正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。
题干分析：
图案中间的阴影部分是正方形，面积是a2，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：a2+1/2×a2/2×4=2a2。
典型例题分析2：
如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，
∵BE：EC=2：1，
∴CE=BC/3=3cm
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，
解得：x=4，即CH=4cm．
故选（B）
考点分析：
正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
题干分析：
根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
典型例题分析3：
如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
AB=BC,∠A=∠C，AD=CD
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
∠MDO=∠M′BO，∠MOD=∠M′OB，DM=BM′，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，
∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．
考点分析：
正方形的性质；全等三角形的判定．
题干分析：
可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．
典型例题分析4：
如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是（）
答案是D。
考点分析：
正方形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等、相似三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理。
题干分析：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AD∥BC，
∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG。
∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE。
∴△AED≌△BFA（AAS）。故结论A正确。
∴DE=AF，AE=BF，
∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故结论B正确。
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BGF。
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠GFB=90°。
∴△BGF∽△DAE。故结论C正确。
由△ABF∽△AGB得AB/AG=AF/AB，
即AB2=AFAG。
由勾股定理得，AF2=AB2﹣BG2，FG2=BG2﹣BF2。
∴（DE﹣BG）2=（AF﹣BG）2=AF2+BG2﹣2AFBG=AB2﹣BF2+BG2﹣2AFBG
=AB2+（BG2﹣BF2）﹣2AFBG=AFAG+FG2﹣2AFBG=FG2+AF(AG﹣2BG)。
∵AG﹣2BG≠0
（只有当∠BAG=时才相等，由于G是的任意一点，∠BAG=不一定），
∴（DE﹣BG）2不一定等于FG2，即DE﹣BG=FG不一定成立。故结论D不正确。故选D。