题目：如图1，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）.若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C,F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；
（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标.
分析：本题为代数综合题，考查三角形全等、三角形面积、解方程和解方程组、函数、动点、最值等知识；主线是运用点的坐标建构方程和函数来解决问题，解题思路清晰.第（2）问解决问题的方法很多，将是本文讨论的重点问题.
解题方法：常规方法；割补法；特殊法.
求三角形的面积，学生一般都会想到利用底和高的积的一半，但在函数图像中这种常规的解法是行不通的，所以本题只能探索三角形与二次函数的通法.
1.过函数上的点作坐标轴的平行线，构成以坐标轴上的长度为底或高的三角形，从而利用点的坐标求三角形的面积.
方法1：（过点M作y轴的平行线）
图1
图2
如图2，过点M作MNy轴交直线AB于点N，
则M(m,-m2+3m+4)，N(m,-3m+3)，
∵MN=-m2+3m+4-（-3m+3）=-m2+6m+1，
∴S△MAB=S△MBN-S△MAN
在抛物线中令y=0，即x2-3x-4=0，
得x1=-1,x2=4，∴0≤m≤4，
∴当m=0时，S取得最小值
最大值5.
方法2：（过点M作y轴的平行线）
图3
如图3，过点M作MNy轴交x轴于点E，交直线AB于点N，则M(m,-m2+3m+4)，
（后面答题：同方法1）
方法3：（过点M作x轴的平行线）
图4
如图4，过点M作MNx轴交AB于点N，则M（m，
方法4：（过点M作x轴的平行线）
图5
如图5，过点M作MEx轴交y轴于点E，则M（m，-m2+3m+4），
方法5：（过点A作y轴的平行线）
图6
如图6，过点A作ANy轴交BM于点N，则M（m，-m2+3m+4），
2.过函数上的特殊点构建与坐标轴围成的三角形，可以利用坐标轴上的线段为底或高，从而利用点的坐标求出三角形的面积.
方法6：（延长MB交x轴于点N）
图7
如图7，延长MB交x轴于点N，则有S△ABM=S△AMN-
方法7：（延长MA交y轴于点N）
如图8，延长MA交y轴于点N，则有S
△ABM=S△BMN-
图8
3.以线段AB为底，抛物线上的点到线段AB的距离最大时，三角形的面积最大，过抛物线作AB的平行线，且与抛物线相切时的点M到AB的距离最大.
方法8：（作AB的平行线与抛物线相切时求唯一点）
图9
作AB的平行线，且与抛物线相切于点M，与x轴交于点N，设M（m，-m2+3m+4），如图9，当S△ABM有最大值时，M到直线AB的距离最大，此时过M的直线与AB平行，且直线yMN与抛物线y=-x2+3x+4有唯一的交点.
即-x2+3x+4=-3x+b时，Δ=b2-4ac=0,代入解之得b=13.
∴当m=0时，S取得最小值1/2
；当m=3时，S取得最大值5.
4.以线段AB为底的三角形，利用点到直线的距离求出AB边上的高，再利用二次函数的性质求最值.
方法9：（利用点到直线的距离求最值）
∵A（1，0），B（0，3），则AB=
以上通过四种解题思路，用了九种方法解决了三角形的最值问题.与函数相关的问题是复杂的，本文将此问题提炼出，希望读者有所启发.