年福建省中考数学试卷（B卷）
25．（14.00分）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y=﹣2根号3x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
（1）由A的坐标确定出c的值，根据已知不等式判断出y1﹣y2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y轴，且开口向下，求出b的值，如图1所示，可得三角形ABC为等边三角形，确定出B的坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）①设出点M（x1，﹣x1^2+2），N（x2，﹣x2^2+2），由MN与已知直线平行，得到k值相同，表示出直线MN解析式，进而表示出ME，BE，NF，BF，求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等，进而得到BC为角平分线；
②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点，得到y轴为BC的垂直平分线，设P为外心，利用勾股定理化简PB^2=PM^2，确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可．
怎么样？看完分析后有想法吗？能自己试着先做一下吗？
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解：（1）∵抛物线过点A（0，2），
∴c=2，
当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
同理当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b=0，
∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图1所示，
∴△ABC为等腰三角形，
∵△ABC中有一个角为60°，
∴△ABC为等边三角形，且OC=OA=2，
设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD=CD，且∠OBD=30°，
∴BD=OBcos30°=根号3，OD=OBsin30°=1，
∵B在C的左侧，
∴B的坐标为（﹣根号3，﹣1），
∵B点在抛物线上，且c=2，b=0，
∴3a+2=﹣1，
解得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣x^2+2；
（2）①由（1）知，点M（x1，﹣x1^2+2），N（x2，﹣x2^2+2），
∵MN与直线y=﹣2根号3x平行，
∴设直线MN的解析式为y=﹣2根号3x+m，则有﹣x1^2+2=﹣2根号3x1+m，即m=﹣x1^2+2根号3x1+2，
∴直线MN解析式为y=﹣2根号3x﹣x1^2+2根号3x1+2，
把y=﹣2根号3x﹣x1^2+2根号3x1+2代入y=﹣x^2+2，解得：x=x1或x=2根号3﹣x1，
∴x2=2根号3﹣x1，即y2=﹣（2根号3﹣x1）^2+2=﹣x1^2+4根号3x1﹣10，
作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足为E，F，如图2所示，
∵M，N位于直线BC的两侧，且y1＞y2，则y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣根号3＜x1＜x2，
∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x1^2+3，BE=x1﹣（﹣根号3）=x1+根号3，NF=﹣1﹣y2=x1^2﹣4根号3x1+9，BF=x2﹣（﹣根号3）=3根号3﹣x1，
在Rt△BEM中，tan∠MBE=ME/BE=-x1^2+根号3/(x1+根号3)=根号3﹣x1，
在Rt△BFN中，tan∠NBF=NF/BF=(x1^2-4根号3x1+9)/3根号3-x1=(x1-2根号3)^2-3/3根号3-x1=(x1-3根号3)(x1-根号3)/3根号3-x1=根号3﹣x1，
∵tan∠MBE=tan∠NBF，
∴∠MBE=∠NBF，
则BC平分∠MBN；
②∵y轴为BC的垂直平分线，
△MBC的外心为P（0，y0），则PB=PM，即PB^2=PM^2，
根据勾股定理得：3+（y0+1）^2=x1^2+（y0﹣y1）^2，
∵x1^2=2﹣y2，
∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）^2，即y0=1/2y1﹣1，
由①得：﹣1＜y1≤2，
∴﹣3/2＜y0≤0，
则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣3/2＜y0≤0．