存在性问题是一个比较重要的数学问题，通常作为中考的压轴题出现，解决这类问题的一般步骤是：首先假设其存在，画出相应的图形；然后根据所画图形进行解答，得出某些结论；最后，如果结论符合题目要求或是定义定理，则假设成立；如果出现与题目要求或是定义定理相悖的情况，则假设错误，不存在.
有关等腰三角形的存在性问题，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，求解这类问题往往需要分类讨论，涉及几何及代数知识众多，有时不知从何下手或考虑不周答案有所遗漏，弄不好运算量很大，造成解题顾此失彼，
其实这类问题题的解法是有套路一的，同学们在学习的过程中只需要牢固掌握等腰三角形存在的基本模型：两圆一线，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。
所谓“两圆一线”模型，具体理解可以结合下边简单的引例
这样通过两个圆和一条线确定了满足条件的点P的位置，简称“两圆一线”模型。在平面直角坐标系中遇到等腰三角形的相关问题后，通常是以顶点作为分类标准，这样就可以“两圆一线”来解决满足条件的点的具体位置。
类型1网格作图背景下等腰三角形的存在性问题
例1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的三个顶点的坐标分别是：A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并求出点A′、B′、C′的坐标．
（2）在坐标平面内是否存在点D，使得△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标（找出满足条件的两个点即可）；若不存在，请说明理由．
（1）如图△A′B′C′即为所做的三角形；
其中A′（2，﹣2），B′（1，0），C′（3，﹣1）；
（2）采用“两圆一线”模型，分别以点O、点C为圆心，以OC的长度为半径画圆，圆上的点都是符合条件的点D．
存在点D使得△COD为等腰三角形，（答案不唯一），
本题考查了利用轴对称变换作图，等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
类型2直角坐标系背景下等腰三角形的存在性问题
例2．（秋海陵区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．
（1）求AB的长度．
（2）在x轴上是否存一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴利用勾股定理可得AB=5，
（2）采用“两圆一线”模型，先表示出PA=
a﹣4
，PB2=a2+9，AB=5，再分三种情况①当PA=AB时．②当PA=PB时，③当PB=AB时，讨论计算即可．
设P（a，0），
∵A（4，0），B（0，3），
∴PA=
a﹣4
，PB2=a2+9，AB=5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当PA=AB时，
∴
a﹣4
=5，
∴a=﹣1或9，
∴P（﹣1，0）或（9，0），
②当PA=PB时，
∴（a﹣4）2=a2+9，
∴a=7/8，
∴P（7/8，0），
③当PB=AB时，
∴a2+9=25，
∴a=4（舍）或a=﹣4，
∴P（﹣4，0）．
即：满足条件的点P的坐标为（﹣1，0）、（﹣4，0）、（9，0）、（7/8，0）．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论和用方程思想解决问题是解本题的关键．
类型3一次函数背景下等腰三角形的存在性问题
例3.如图，直线l1的解析表达式为y=x+1，且l1与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点D．l2与y轴的交点为C（0，﹣3），直线l1、l2相交于点A（2，3），结合图象解答下列问题：
（1）S△ADC=______,直线l2表示的一次函数的解析式_________；
（2）当x为何值时，l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0．
（3）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△ADP为等腰三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在说明理由．
（1）∵直线AB解析式为y=x+1，∴D（0，1），
又∵C（0，﹣3），∴CD=1﹣（﹣3）=4，
∴S△ADC=1/2×4×2=4，
设直线l2的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），C（0，﹣3）两点代入，得
2k+b=3,b=-3，解得k=3b=-3，
所以，直线l2的解析式为y=3x﹣3，
故答案为：4，y=3x﹣3；
（2）由直线l1的解析式y=x+1，得B（﹣1，0），
由直线l2的解析式y=3x﹣3，得E（1，0），
所以，当x＞1时，l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0；
本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用待定系数法求一次函数解析式，根据解析式求图象与坐标轴的交点，形数结合．利用等腰三角形的性质，采用“两圆一线”模型画弧，作垂直平分线的方法，在x轴上找等腰三角形的顶点坐标．
类型4反比例函数背景下等腰三角形的存在性问题
例4.如图，已知反比例函数y=k/2x和一次函数y=2x﹣1图象交于A（1，b）点，且一次函数的图象经过（2，b+k）点．
（1）求A点坐标及反比例函数的解析式；
（2）请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
（1）由题意得b=2×1-1,b+k=2×2-1，
解得b=1,k=2，∴点A的坐标为（1，1）
∴反比例函数的解析式为y=1/x；
（2）首先根据A点坐标计算出AO的长，然后采用“两圆一线”模型分情况讨论：①当OA为腰时，由OA=OP，由OA=AP；②当OA为底时分别求出坐标即可．
∵A（1，1），
此题主要考查了反比例函数综合，以及等腰三角形的判定，关键是正确求出A点坐标，在使△AOP为等腰三角形时，要注意分情况讨论，不要漏解．
类型5二次函数背景下等腰三角形的存在性问题
例5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴a+b+3=0,9a-3b+3=0,
解得：a=-1,b=-2
∴所求抛物线解析式为：
y=﹣x2﹣2x+3；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后采用“两圆一线”模型分三种情况进行讨论：
∵抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
练习1.如图，已知直线l：y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；
（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标．
2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
宏观上讲抛物线上存在点的探究常用方法是虚拟检验的方法：欲探究抛物线是否存满足条件A、B的点，先虚拟出符合条件A的点，然后再检验点是否满足条件B．满足即存在，反之不存在；分类探究的方法：欲探究抛物线上符合某条件的P点是否存在，可借助图形特殊点位置进行分类讨论；求解探索的方法：欲探索抛物线上满足条件A、B的点P是否存在，根据条件A、B列出关于P点坐标的方程(组)，有解则存在，反之则不存在．
微观上说等腰三角形存在性问题，通过“两圆一线”模型，精准的找出相应的点，然后设出点M的坐标，分别表示出MA，MB和MA的平方，那么通过上面的讨论，分三种情况得到三个方程，分别解出来，然后根据具体情况排除不符合题意的答案就可以了。浓缩一下这类存在性问题的解题步骤：（1）画图再找点；（2）设元求长度；（3）分类解方程